連立不等式でAの値の範囲が一瞬わかる数直線活用術

連立不等式でAの値の範囲が一瞬わかる数直線活用術の概要と注目ポイントをわかりやすく整理しました。

チャート式連立不等式aの範囲を扱う項目でも定番として掲載されているのが、連立不等式整数解の個数を指定する問題です。模試や定期テストで最も狙われる具体例として、次のパターンを検証してみましょう。

【例題】連立不等式「$x \leqq 5$」かつ「$x > a$」を満たす整数がちょうど3個存在するとき、定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

この問題を一瞬で解きほぐす不等式端点の検討コツは、以下の3ステップに集約されます。

ステップ1：含まれる整数を確定させる
すでに上限が $x \leqq 5$ と確定しているため、範囲に含まれる整数を大きい方から順に3つ書き出します。この場合、対象となる整数は「5, 4, 3」の3つです。絶対に入ってはいけない次の整数は「2」となります。

ステップ2：定数aが挟まれる大まかな範囲を決める
数直線上で $a$ は「2」と「3」の間にある必要があります。したがって、まずは等号を無視して「$2 < a < 3$」という枠組みを作ります。

ステップ3：両端の点にaを直接「代入」して適合判定を行う（最強の裏ワザ）
ここが成否を分ける決定的なポイントです。「$a$ に等号がつくか？」と悩むのをやめ、「もし $a=2$ だったら？」「もし $a=3$ だったら？」と具体値を代入して不等式を読み直すのです。

• ケースA：$a = 2$ のとき
  不等式は $x > 2$ かつ $x \leqq 5$ となります。この範囲に含まれる整数は「3, 4, 5」のちょうど3個です。条件を完璧に満たすため、$a = 2$ は許容されます。すなわち「$2 \leqq a$」と等号がつきます。
• ケースB：$a = 3$ のとき
  不等式は $x > 3$ かつ $x \leqq 5$ となります。この範囲に含まれる整数は「4, 5」の2個だけになり、条件である「3個」を満たしません。したがって $a = 3$ になっては困るため、等号は含めず「$a < 3$」となります。

以上の代入検証により、答えは迷うことなく「$2 \leqq a < 3$」と確定します。数直線の見た目だけで「白丸だからイコールがつかない」などと判断するとミスを誘発しますが、具体的な数値を不等式に戻すだけで、一切の曖昧さが排除されます。