二重根号の外し方を徹底解説！公式の仕組みから2がない変形裏ワザまで

二重根号の外し方を徹底解説！公式の仕組みから2がない変形裏ワザまでの見逃せないポイントをわかりやすく整理しました。

受験生が最も戸惑うのが、ルートの前に係数がなく、中身からも2が取り出せない奇数係数のパターンです。

例えば $\sqrt{4 + \sqrt{7}}$ という式を見てみましょう。7から4を括り出すことはできません。ここで使う裏ワザが、「全体を2倍して2で割る（分子・分母に2を掛ける）」という手法です。

$$\sqrt{4 + \sqrt{7}} = \sqrt{\frac{8 + 2\sqrt{7}}{2}} = \frac{\sqrt{8 + 2\sqrt{7}}}{\sqrt{2}}$$

分子に着目すると、$\sqrt{8 + 2\sqrt{7}}$ となり見事に「2」が出現しました。「足して8、掛けて7」になる組み合わせは7と1です。したがって分子は $\sqrt{7} + 1$ と外れます。最後に分母を有理化します。

$$\frac{\sqrt{7} + 1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{14} + \sqrt{2}}{2}$$

この「無理やり分数にして分子に2を作る」変形法を習得しておけば、どのような係数が来てもパニックに陥ることはありません。