微分可能とは？連続との違いと尖点・絶対値の罠を徹底解説【2026】

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国公立二次試験や難関私大の数学Ⅲで頻出する「関数の微分可能性を調べる問題」では、定石となる解答手順が確立されています。自己流の計算で済ませず、以下の2段階ステップで論述を組み立てるのが定石です。

【微分可能性の判定・証明 2ステップ】
ステップ1：$x = a$ における連続性を確認する（$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ を示す）。
ステップ2：定義式に基づいて右側微分係数と左側微分係数をそれぞれ計算し、両者が一致することを示す。

【実践例題】
関数 $f(x) = \begin{cases} x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right) & (x \neq 0) \\ 0 & (x = 0) \end{cases}$ は $x = 0$ で微分可能か判定せよ。

【解答解説】
定義式に基づいて $x = 0$ での極限を調べます。
$$\lim_{h \to 0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h^2 \sin\left(\frac{1}{h}\right) - 0}{h} = \lim_{h \to 0} h \sin\left(\frac{1}{h}\right)$$
ここで、$-1 \le \sin\left(\frac{1}{h}\right) \le 1$ より、各辺に $|h|$ を掛けると $0 \le \left|h \sin\left(\frac{1}{h}\right)\right| \le |h|$ となります。
$h \to 0$ のとき $|h| \to 0$ であるため、はさみうちの原理より極限値は $0$ となります。
極限値が有限確定値 $0$ として存在するため、「関数 $f(x)$ は $x = 0$ で微分可能であり、微分係数は $f'(0) = 0$」と証明されます。